Quartile und Boxplots - bettermarks (2023)

Quartil ist lateinisch und heißt wörtlich übersetzt $\text{„}\text{Viertelwert}\text{“}$ .

Quartile zerlegen eine sortierte $\text{Datenreihe}$ von Beobachtungen in vier (annähernd) gleich große Abschnitte oder $\text{Klassen}$ .

Das erste Quartil wird auch unteres Quartil genannt (abgekürzt $Q_1$ ).

Das dritte Quartil wird auch oberes Quartil genannt (abgekürzt $Q_3$ ).

Der $\text{Median}$ M ist der Wert in der Mitte oder das $\text{arithmetische Mittel}$ der beiden mittleren Werte. Er wird manchmal auch zweites Quartil genannt.

Charakterisierende $\text{Eigenschaft des ersten Quartils}{Q}_1$ :Höchstens ein Viertel der Beobachtungen ist kleiner als $Q_1$ und höchstens drei Viertel der Beobachtungen sind größer als $Q_1$ .

Charakterisierende $\text{Eigenschaft des dritten Quartils}{Q}_3$ :Höchstens drei Viertel der Beobachtungen sind kleiner als $Q_3$ und höchstens ein Viertel der Beobachtungen ist größer als $Q_3$ .

Um die Quartile zu bestimmen, sortierst du die Beobachtungswerte der Größe nach mit dem kleinsten Wert beginnend.

Ist der Umfang N der $\text{Datenreihe}$ gerade, so teilt der Median die Datenreihe in zwei gleich große $\text{Datenhälften}$ .

Die Quartile sind jeweils die Mediane der Datenhälften.

Ist der Umfang N der Datenreihe ungerade, so ist der Median der Wert in der Mitte.

Enthalten auch die verbleibenden Datenhälften eine ungerade Anzahl von Datenwerten, nimmst du als erstes oder drittes Quartil wieder jeweils davon den Median, also den Wert in der Mitte.

Für den Fall, dass die beiden verbleibenden Datenhälften jeweils eine gerade Anzahl von Datenwerten enthalten, gibt es keine einheitliche Regel:

Nach unserer Regel ist das erste Quartil der Datenwert nach dem Median der unteren Datenhälfte und das dritte Quartil der Datenwert vor dem Median der oberen Datenhälfte.

Es gibt auch die vereinfachte Regel, bei der der Median der jeweiligen Datenhälfte genommen wird.

Bei großen Datenreihen spielt dieser Unterschied aber keine Rolle.

Mit einem Boxplot kannst du die Verteilung der Beobachtungen einer $\text{Beobachtungsreihe}$ graphisch darstellen.Er ist eine Zusammenfassung der fünf $\text{Lageparameter}$ einer Beobachtungsreihe und besteht aus dem

Als Eselsbrücke kannst du dir die Boxplot-Buchstabenfolge merken:M - Q - M - Q - M(Minimum - Quartil - Median - Quartil - Maximum)

Bestandteile eines Boxplots:Der Boxplot besteht aus der Box, sowie der linken und der rechten Antenne. In der Box markiert ein senkrechter Strich den $\text{Median}$ . Die linke Kante der Box liegt auf dem ersten, die rechte auf dem dritten $\text{Quartil}$ .Das Ende der linken Antenne markiert das $\text{Minimum}$ . Das Ende der rechten Antenne markiert das $\text{Maximum}$ .

Ein Boxplot stellt übersichtlich die in Quartile zerlegte Verteilung der Beobachtungen um den Median herum dar: Etwa $50\%$ der Daten liegen innerhalb der Box, etwa $25\%$ links von der Box, etwa $25\%$ rechts von der Box.

Die Breite der Box zeigt an, ob die mittlere Hälfte der Daten eher nahe dem Median oder weiter verstreut davon liegen. Je kleiner die Box, desto mehr konzentriert sich die mittlere Hälfte der Daten um den Median.

Die Lage des Median in der Box zeigt an, ob sich die mittlere Hälfte der Daten auf einer Seite des Median konzentrieren. Je kürzer eine Seite der Box im Vergleich zur anderen Seite ist, desto mehr konzentriert sich die mittlere Hälfte auf dieser Seite des Median.